Deux discrétisations spatiales sont disponibles dans TrioCFD : (i) la méthode classique des Volumes Différences Finies (VDF) pour les maillages structurés cartésiens ou hexaédriques (basée sur les variables décalées du schéma MAC), et (ii) une méthode originale de Volumes Eléments Finis (VEF) s'appuyant sur un maillage triangulaire ou tétraédrique. Celle-ci peut être interprétée comme une généralisation des éléments Crouzeix–Raviart, où la pression discrète est définie sur le maillage primal aux centres et vertex des éléments alors que la vitesse est discrétisée sur un maillage dual décalé basé sur les faces (discrétisation en élément finis de type P1_non-conforme/P0-P1). Dans ces deux méthodes, les équations sont discrétisées et résolues sur des volumes de contrôles alors que les flux et les opérateurs différentiels sont évalués par des approximations différences-finies ou élément-finis. L'avantage principal de ces méthodes numériques réside dans ses propriétés de conservation locales. La méthode de Front-Tracking, s'appuyant sur le transport d'un maillage lagrangien pour suivre explicitement et précisément l'évolution temporelle des interfaces. Elle permet de résoudre le mouvement et les déformations de l'interface, y compris en présence de changement de phase où les fortes discontinuités sont gérées par une méthode Ghost-Fluid (GFM).
La méthode VDF
Il s'agit en fait du schéma M.A.C. qui a été proposé par Harlow et Welch en 1965. Ce schéma est d’une très grande robustesse et a été généralisé à toute sorte de modélisations physiques (monophasique, diphasique, compressible, incompressible, turbulent, laminaire, …) avec succès. Les raisons pour lesquelles cette méthode numérique est aussi performante restent en grande partie mystérieuses. Ces principaux défauts connus sont de ne pas bien traiter les écoulements à haut nombre de Mach (pour lesquels on préfère des solveurs hyperboliques), et le fait d’être cantonnée aux maillages structurés cartésiens ce qui rend difficile le traitement des géométries complexes et des maillages adaptatifs. Les méthodes de type Immersed Boundaries, Domaine Fictif, etc. … ont été développées avec un relatif succès pour pallier le problème du traitement des géométries complexes.
Dans le cadre du dévleloppement de TrioCFD, on s’intéresse à identifier les propriétés du schéma M.A.C. qui le rendent si robuste et à construire une méthode numérique satisfaisant ces propriétés et supportant les maillages non structurés. On s’intéresse également aux méthodes de frontières fictives notamment pour traiter les frontières mobiles.
Aujourd’hui, on considère que le cœur de la robustesse du schéma M.A.C. réside dans sa capacité à décomposer correctement l’espace L2(W) (W est le domaine fluide) :
"¦Î L2(W) , $(j,y)Î (H1(W))2 : ¦=Ñj+Ñ´y
Cette décomposition apparaît en effet très souvent :
1. Repères mobiles (e.g. force centrifuge)
2. Tension superficielle (courants parasites)
3. Tourbillons de Taylor (uÑu=-Ñp)
4. Equilibre sous gravité (Ñp=rg)
On cherche donc à construire une méthode numérique ayant les propriétés suivantes :
1. Décomposition de L2(W) d’ordre élevé
2. Stabilité (condition inf sup)
3. Robustesse (compressible, turbulent, mono et diphasique)
4. Performance et calcul parallèle (décomposition de domaine, Mortar)
La méthode VEF
L’élément construit est une amélioration de l’élément de Crouzeix-Raviart. La vitesse est P1NC et la pression est P1+P0 en dimension 2 et P1+P0+Pa en dimension 3. Cet élément possède les propriétés requises et peut être interprété soit dans le cadre des méthodes Éléments Finis de Galerkin soit dans le cadre des méthodes de Volumes Finis (non colocalisées).
Ordres de convergence pour quelques catégories de problèmes
En cours de rédaction...